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在展开式中，a是按其幂指数由高到低排列的， b是按其幂指数由低到高排列的;首项a的次数与末项b的次数相同，都等于二项式乘方的次数;各项中 a，b的指数和也等于二项式乘方的次数;展开式中的项数比二项式乘方的次数多 1.展开式各项的系数的规律:每一行首末两项系数都是1，中间各项系数等于它上一行相邻的两个系数之和，第n行系数的和等于2^n-1.按照这个规律，可以把(a+b)^n(n=3，4，…)的展开式中各项的系数直接写出来.例如，(a+b)³的展开式中，各项的系数分别为1，3，3，1.历史文章：心头有数｜杨辉三角2、洛书（幻方）传说在很久以前，夏禹治水来到洛水，洛水中浮起一只大乌龟，乌龟背上有一个奇怪的图，图上有许多圈和点，这些神秘的圈和点表示什么意思呢?有人好奇的数了一下龟背上的圈数和点数，再用数字表示出来，发现这里面有非常有趣的关系:把龟背上的数填入3x3的正方形方格中，不管是把横着的3个数相加，还是把竖着的3个数相加，或者把斜着的3个数相加，其和都等于15.图片
这就是我们所说的三阶幻方，而有关幻方的最早记录，是约于公元前2200年在我国出现的“洛书”.3、斐波那契数列斐波那契数列，又称黄金分割数列，因十三世纪意大利数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34......这列数的规律是:从第3 项开始，每一项都等于前两项之和.在实际生活中，斐波那契数列中的数会经常出现在我们的眼前，例如松果、树叶的排列，某些花朵的花瓣数(如向日葵花瓣)，蜂巢，蜻蜓翅膀等，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.著名的斐波那契螺旋线(也称“黄金螺旋线”)就是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.4、图解法求解一元二次方程图片
5、三等分角问题三等分角是古希腊几何尺规作图当中的名题，和化圆为方、倍立方问题被并列为古代数学的三大难题之一，该问题的完整叙述为:在只用圆规及一把没有刻度的直尺将一个给定角三等分.而如今数学上已证实了在尺规作图的前提下，这个问题无解.经过人们的研究，若将条件放宽，则可以将一个给定角三等分.例如阿基米德就曾给出用有刻度的直尺三等分角的方法、帕普斯借助反比例函数给出一种三等分角的方法，还有折纸法等等.历史文章：尺规作图如何三等分一个角？几何模型 | 芳贺折纸定理6、勾股定理（勾股数）中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，称为商高定理，而更普遍地则称为勾股定理.中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦.勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，希腊的著名数学家毕达哥拉斯也发现了这个定理，因此世界上许多国家又称勾股定理为“毕达哥拉斯定理”或“百牛定理”.下面介绍几种用来证明勾股定理的图形.1.传说中毕达哥拉斯的证法(图①、图②)提示:图①中拼成的正方形与图②中拼成的正方形面积相等.图片
朱秀海•2.弦图的另一种证法(图③)提示:以斜边为边长的正方形的面积+4个三角形的面积=外正方形的面积.图片
3.美国第 20 任总统茄菲尔德的证法(图④)提示:3个三角形的面积之和=梯形的面积.历史文章：定理证明｜6种方法证明勾股定理7、赵爽弦图三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.如图，四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，中间空的是一个小正方形.通过对这个图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.证明方法如下:设直角三角形的三边中较短的直角边为a，另一直角边为b，斜边为c，朱实面积=2ab，黄实面积=(b-a)2=b2-2ab+a²，朱实面积+黄实面积=a2+b2=大正方形面积=c2.图片
8、海伦-秦九韶公式古希腊的几何学家海伦(Heron，约公元50年)，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了上述公式和它的证明，这一公式称为海伦公式.图片
海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们一般也称此公式为海伦一秦九韶公式.历史文章：数学基础｜勾股定理证明海伦公式9、黄金分割黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为 0.618，这个比值被称为黄金比例，这个比例被公认为是最能引起美感的比例.1.常见的几何图形有:黄金三角形(等腰三角形的顶角或者两底角为36°)，黄金矩形(宽与长的比等于黄金比（√5-1）/2的矩形)，正五角星等;2.常见的生活应用:建筑如古埃及的金字塔，巴黎的圣母院，法国的埃菲尔铁塔;雕塑如断臂维纳斯;名画如达·芬奇的作品《蒙娜丽莎》等;3.黄金螺旋线(如图①)也称“斐波那契螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线.图片
4.如何找黄金分割点:(1)如图②，过点B作AB 的垂线，并在垂线上取BC=AB;(2)连接 AC，以点 C为圆心，CB为半径画弧，交AC 于点 E;(3)以点A为圆心，AE为半径画弧，交AB 于点P.则点P即为所求.历史文章：趣味几何 | 黄金三角形10、数学的发现《数学的发现》是2006年科学出版社出版的图书，作者是(美)乔治·波利亚.本书通过对各种类型生动而有趣的典型问题(有些是非数学的)进行细致剖析，提出它们的本质特征，从而总结出各种数学模型.例如:给定A、B和C三个点，作一条直线交 AC于X点，交BC于Y点，使得AX=XY=YB.图片
11、欧几里得欧几里得(约公元前330年~公元前 275年)，古希腊数学家，被称为“几何之父”.他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，欧几里得几何，被广泛认为是历史上最成功的教科书.欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品.1.欧几里得定理:直角三角形中，斜边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的比例中项.每一条直角边的平方是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.即如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则由欧几里得定理可得:图片
2.欧几里得证明了命题(y+z)²=y²+z²+2yz，(y+z)(y- z)=y²-z².3.还有比较常见的几何的一些定理性质，如:在任意三角形中，大边对大角等等.12、阿波罗尼奥斯阿波罗尼奥斯(Apollonius of Perga，约公元前262年~190年)，古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果.在几何学中，他给出了著名的阿波罗尼奥斯定理，这是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理.阿波罗尼奥斯定理:如图，在△ABC 中，AD 是中线，那么:AB²+AC²=2(AD²+BD²).图片
阿波罗尼奥斯定理的推广即为斯图尔特定理，同时在该定理中，若△ABC是等腰三角形(AB=AC)，则 ADLBC，该定理可以简化为△ABD 或△ACD 的勾股定理.阿波罗尼奥斯圆:点P是平面内一个动点，若点 P到两个定点的距离之比始终等于一个定值，则点P的运动轨迹是一个圆.阿波罗尼奥斯还提出了许多新的性质，并给出抛物线、椭圆、双曲线、正焦弦等名称，他在解释太阳系内5大行星的运动时，提出了本轮均轮偏心模型，为托勒密的地心说提供了工具.历史文章：几何模型 | 阿氏圆阿氏圆性质及应用阿氏圆的2种构造方式来解题吧 | 费马点+阿氏圆+胡不归13、泰勒斯泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，泰勒斯在数学方面划时代的贡献是引入了命题证明的思想，它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论，这在数学史上是一次不寻常的飞跃.在数学中引入逻辑证明，它的重要意义在于:保证了命题的正确性;揭示各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系，为进一步发展打下基础;使数学命题具有充分的说服力，令人深信不疑.1.泰勒斯定理以他的名字命名，其内容为:若A，B，C是圆周上的三点，且AC是该圆的直径，那么∠ABC 必然为直角，或者说，直径所对的圆周角是直角.图片
2.他曾利用日影来测量金字塔的高度，澳门|威尼斯人|官方网站也曾准确的预测过日食，他是古希腊第一个将一年修正为365天的人.14、圆幂定理圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、割线定理、切割线定理的统一.1.相交弦定理:如图①，若圆内任意弦AB弦CD交于点P，则PA·PB=PC·PD2.割线定理:如图②，P是圆外一点，过点P的两条直线分别与圆交于点A、B、C、D，则PA·PB=PC.PD. 图片
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3.切割线定理:如图③，P是圆外一点，直线PA与圆交于点A、B，PT是圆的切线，T为切点，则PT²=PA·PB.15、月形定理利用尺规作图，求作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积，即“化圆为方”问题.这是古希腊的三大难题之一，也是其中最难解决的一个问题.月形定理实际上是勾股定理推广的一个应用，它是由古希腊几何学家希波克拉底提出的，主要是解决圆形和方形面积转化问题(化圆为方).得出结论如下:如图，两个月牙形的面积之和，等于△ABC的面积，即 S+S₂=S3.图片
16、蝴蝶定理蝴蝶定理(Butterfly Theorem)，是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一.这个命题最早出现在1815 年，由 W.G.霍纳提出证明.而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形像一只蝴蝶.蝴蝶的身形具有对称性，它的身长与张开的翅膀之比为黄金比，那么它还具有哪些性质呢?将这种蝴蝶身上的6个特殊点(图①)连接起来，可以得到图②，其中包含3个等腰梯形，若四边形ABDC 是等腰梯形，MN过对角线AD、BC的交点H，且 AB//MN// CD，则我们可以得到许多结论，例如:△ABC≌△BAD，△ACD≌△BDC，△AHC≌ △BHD，△ABH~△DCH等等.若四边形ABDC是一般梯形，你能猜出哪些结论仍然成立吗?图片
圆中的蝴蝶定理:如图③，设M为圆内弦 PQ的中点，过M作弦 AB和CD，设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点.图片
该定理不仅有许多推广，例如:点M移到圆外，也可以将圆变为一个筝形，M为对角线交点，其逆定理也成立.17、婆罗摩笈多婆罗摩笈多(Brahmagupta)，是七世纪时的印度数学家，他编著了《婆罗摩修正体系》(数学方面)和《肯达克迪迦》(天文学方面)两部著作.数学部分涉及到三角形、四边形、零、负数、一阶和二阶方程的研究，他提出的一些概念在世界数学史上有很高的地位.1. 婆罗摩笈多定理:若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于该四边形一边且过对角线交点的直线将平分对边.即:如图，圆内接四边形ABCD 的对角线ACIBD，垂足为M，过M作EF⊥BC于点 E，交AD于点F，那么F是AD 的中点.图片
2. 婆罗摩笈多四边形面积公式:若圆内接四边形的四边长为a，b，c，d，则其面积为:图片
，其中s为半周长，即S= （a+b+c+d）/2，后来人们经过研究对婆罗摩笈多公式进行了扩展，可以得到一般四边形的面积的计算公式:图片
，其中0是四边形任意一组对角的度数和的一半，图片
历史文章：几何模型 | 婆罗摩笈多定理&模型&公式趣味几何｜海盗埋宝&婆罗摩笈多18、欧拉欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域.他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作.欧拉对数学的研究如此之广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理.1.欧拉定理:设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d²=R²-2Rr.2.欧拉线定理:任意不等边的△ABC的外心O、重心G、垂心H三点共线，则HG=2G0.3.欧拉恒等式:对于整数甲、乙、a、b、c、d、e、f、g、h，若甲=a²+b²+c²+d²，乙=e²+f²+g²+h²，则甲x乙=A2+ B²+C²+D²，其中A、B、C、D也是整数，即(a²+b²+c²+ d²)(e²+f²+g²+h²)=A²+B²+C²+D².19、阿基米德阿基米德(公元前287年~公元前212年)，伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家.1.鞋匠刀形:如图①，若C是线段AB上的任一点，分别以 AB，BC，CA 为直径且在AB的同侧作半圆，则这三个半圆周所围成的图形称为鞋匠刀形.图片
阿基米德证明了鞋匠刀形的面积等于以AC为直径的圆的面积.如果鞋匠刀形内两个内切圆位于AC的两侧，并与AC相切，那么这两个圆相等.2.阿基米德折弦定理:如图②所示，AB 和BC是⊙0的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是弧 ABC 的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦 ABC 的中点，即CD=AB+BD.图片
3.圆的引理:阿基米德提出了六个圆有关的引理，其中一个是:如图③，设AB是一个半圆的直径，并且过点B的切线与过该半圆上的任意一点D的切线交于点 T，如果作 DE垂直AB于点E，且与AT交于点F，则 DF=EF.图片
历史文章：定理证明 | 阿基米德折弦定理20、费马皮埃尔·德·费马，17世纪法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”.1638年，勒内.笛卡儿邀请费马思考关于到三个顶点距离为定值的函数问题，费马经过思考并由此提出费马点的相关结论.定义:若一个三角形的最大内角小于 120°，则在其内部有一点，可使该点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点.例如:如图，点P是△ABC的费马点.图片
费马大定理:费马的结论就是:当自然数n≥3时，关于x，y，z的方程x"+y"=z"没有正整数解.历史文章：几何模型 | 费马点来解题吧 | 加权费马点来解题吧 | 半角模型与费马点完美结合来解题吧 | 费马点+阿氏圆+胡不归21、梅涅劳斯定理梅涅劳斯(Menelaus)是公元1世纪时的古希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍.梅涅劳斯定理(简称梅式定理)，最早出现在梅涅劳斯的著作《球面体》.图片
22、塞瓦定理塞瓦(Giovanni Ceva，1648~1734)，意大利水利工程师，数学家.塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重大发现.图片
塞瓦定理记忆方法:三顶点选一个作为起点，定一方向，绕一圈，三组比例相乘为一.23、托勒密克罗狄斯·托勒密是古希腊后期著名数学家，天文学家，地理学家和光学家，他一生写了多部科学著作，其中有三部对科学发展有重大影响.第一个是现在被称为Almagest 的天文论文(即《天文学大成》)，尽管它最初被称为《数学论文》，然后又被称为《伟大论文》.第二个是地理，第三个是占星议论文.图片
托勒密定理:在一个圆内接四边形中，如图②，有 AB·CD+AD·BC=AC·BD.(托勒密定理的一个特例就是我们熟知的勾股定理)历史文章：定理证明 | 托勒密定理来解题吧 | 托勒密、斯图尔特、暴力解题一起来24、西姆松定理罗伯特·西姆松是英国数学家，他在几何学和算术方面都有一些贡献，他曾于1756年校订过欧几里得的《几何原本》.西姆松定理是一个平面几何定理.其表述为:过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线(此线常称为西姆松线);西姆松定理的逆定理为:若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上.图片
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